ETUDE DE STABILITE DES SYSTEMES

1- Méthodes graphiques

1.1-  Lieu de NYQUIST

          Ce diagramme consiste à représenter en coordonnées polaires , à partir d’un axe réel, le module et la phase d’une transmittance , lorsque la pulsation  varie de zéro à l’infini. Le lieu obtenu est appelé lieu de NYQUIST et il est gradué en w.

1.2- La représentation de BODE 

                                  

            C’est une représentation fréquentielle qui consiste à tracer les courbes de gain et de phase d’une transmittance en fonction de la fréquence du signal sinusoïdal d’entrée. Si on considère une transmittance H(S) , on doit tracer séparément les courbes:

1.3- Lieu de BLACK 

Cette représentation  consiste à porter en abscisse la phase et en ordonnée l’amplitude (exprimée en décibel). Cette représentation a l’avantage de ne comporter qu’une seule courbe, au lieu de deux pour le diagramme de BODE mais en revanche, il est nécessaire de représenter sur la courbe les pulsations correspondantes.

2- Méthodes analytiques

2.1- Critère de stabilité de ROUTH

         On appelle critère de stabilité de routh une méthode permettant de déterminer la stabilité d'un système , qu'on peut appliquer à une équation caractéristique d'ordre n de la forme :

On applique le critère en se servant d'une table de routh définie comme suit :

On poursuit la construction de la table , horizontalement et verticalement jusqu'à obtenir des zéros .  On peut multiplier une ligne par une constante avant de calculer la ligne suivant sans changer les propriétés de la table . Toutes les racines de l'équation caractéristique ont leur partie réelle négative si et seulement si les éléments de la première colonne de la table de routh ont le même signe . Sinon le nombre de racines à partie réelle positive est égal au nombre de changements de signes . [12]

III.8.2.2- Critère de stabilité de HURWITZ    

          Le critère de stabilité d'hurwitz est une autre méthode pour déterminer si toutes les racines de l'équation de caractéristique ont leur partie réelle négative ou non . On applique ce critère en se servant de déterminants formés à partir des coefficients de l'équation caractéristique . On suppose que le premier coefficient a_n est positif . Les déterminants Δ_i  pour i=1,2,3,…n-1 sont les mineurs principaux du déterminant

Tous les racines de l'équation caractéristique ont leur partie réelle négative si et seulement Si > 0 pour i = 1,2,…, n . [12]